洛朗级数展开方法

今天我要向大家分享的是关于数学物理方法的一类经典题型——求解函数在固定点的洛林级数展开。

一般方法

首先肯定是使用定义计算，从书上我们知道函数的洛林级数展开如下：

\[f(z)=\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty}a_k(z-z_0)^k\]

其中

\[\frac{1}{2\pi i}\oint_{C}^{}\frac{f(\zeta)}{(\zeta-z_0)^{k+1}}\mathrm{d}\zeta\]

使用这个公式当然能计算洛朗展开，所以我们可以算出

\[\frac{1}{1-x}=\sum\limits_{k=0}^{+\infty}x^k (|x|<1)\]

从这个表达式我们可以很方便地计算一类的洛朗展开。

对分数函数

使用刚刚我们提到的表达式，我们以如下例题来讲解如何计算：

\[f(z)=\frac{1}{(z-2)(z-1)}在z_0=1处\]

首先我们需要对表达式裂项，如下

\[f(z)=\frac{1}{z(z-1)}=\frac{1}{z-2}-\frac{1}{z-1}\]

对于第一项，$z=1$不是其奇点，所以自然其展开没有负幂次项，我们有

\[\frac{1}{z-2}=-\frac{1}{2}*\frac{1}{1-\frac{z}{2}}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}(-\frac{1}{2})*{(\frac{z}{2})}^k\]

这里我们需要注意的是，由于展开范围是 \(1<|z|<2\) ，而我们前面公式的展开范围要求 \(|x|<1\) ，所以我们要构造 \(\frac{z}{2}\)，而不是反过来。而第二项，我们就只能构造 \(\frac{1}{z}\)，而不是 \(\frac{z}{1}\)

\[\frac{1}{z-1}=\frac{1}{z}*\frac{1}{1-\frac{1}{z}}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}(\frac{1}{z})^{k+1}\]

总结，我们有

\[f(z)=\frac{1}{(z-2)(z-1)}=\sum\limits_{k=0}^{\infty}((-\frac{1}{2})*{(\frac{z}{2})}^k+(\frac{1}{z})^{k+1})\]