留数算实变函数积分（二）

紧接着上周讲的使用留数定理计算积分的前两种类型，这周我们来看第三种实变函数积分类型——包含三角函数的无穷积分，这部分较难，故单独分一周来讲，而三种类型的例题我都会后面上传。之前内容忘了的同学可以去看上周的内容

类型三：包含三角函数的无穷积分（傅里叶积分）

这种积分的形式为： \(I = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\cos(mx) dx \quad \text{或} \quad I = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\sin(mx) dx\) 其中 $m>0$，且当 $|x|\to\infty$ 时，$f(x) \to 0$。

核心策略：利用欧拉公式 $e^{imx} = \cos(mx) + i\sin(mx)$，转而计算辅助积分 $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{imx} dx$。其结果的实部或虚部就是我们要求的积分。路径选择与类型二相同，也是上半平面的大半圆。这里使用乔丹引理 (Jordan’s Lemma) 来保证半圆弧上的积分当 $R\to\infty$ 时为 0。

例题：计算 $I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\cos x}{x^2+1} dx$。

1. 构造复积分：我们计算 $J = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{ix}}{x^2+1} dx$，则所求积分 $I = \text{Re}(J)$。 考虑辅助积分 $\oint_C \frac{e^{iz}}{z^2+1} dz$。根据乔丹引理，当 $R \to \infty$ 时，半圆弧 $C_R$ 上的积分趋于 0。
2. 找奇点并计算留数：函数 $f(z) = \frac{e^{iz}}{z^2+1}$ 在上半平面只有一个简单极点 $z_1 = i$。 \(\text{Res}(f, i) = \lim_{z \to i} (z-i)\frac{e^{iz}}{(z-i)(z+i)} = \frac{e^{i^2}}{i+i} = \frac{e^{-1}}{2i}\)
3. 应用留数定理： \(J = \oint_C f(z) dz = 2\pi i \times \text{Res}(f, i) = 2\pi i \times \frac{e^{-1}}{2i} = \frac{\pi}{e}\)
4. 取实部/虚部： 因为 $J = \frac{\pi}{e}$ 是一个实数，所以 $I = \text{Re}(J) = \frac{\pi}{e}$。

这三种类型是应用留数定理解实积分最经典、最基础的模式。掌握了它们，就能解决大部分相关问题。更多具体的例题我将会在后面进行更新