留数算实变函数积分例题（二）

今天我们来继续学习留数如何计算积分。这次主要是深入探讨第二种类型：无穷区间的有理函数积分。

核心方法回顾

问题形式: $I = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx$，其中 $f(x) = \frac{P(x)}{Q(x)}$ 是一个有理函数。

使用条件:

1. 分母 $Q(x)$ 在实轴上没有零点（即积分路径上没有奇点）。
2. 分母多项式 $Q(x)$ 的次数至少比分子多项式 $P(x)$ 的次数高2。即 $\text{deg}(Q) \ge \text{deg}(P) + 2$。
   • 这个条件至关重要，它保证了当我们将积分路径扩展到上半平面的一个巨大半圆时，这个半圆弧上的积分会随着半径趋于无穷而消失为零。

计算步骤:

1. 构造复变函数 $f(z)$ 和一个闭合路径 $C$，该路径由实轴上的 $[-R, R]$ 和上半平面的半圆弧 $C_R$ 组成。
2. 找出 $f(z)$ 在上半平面（即虚部 $\text{Im}(z) > 0$）的所有奇点。
3. 计算这些奇点处的留数。
4. 应用留数定理，得到闭路积分的值：$\oint_C f(z) dz = 2\pi i \sum_{\text{Im}(z_k)>0} \text{Res}(f, z_k)$。
5. 将闭路积分拆分并取极限 $R \to \infty$。由于满足度数条件，$\int_{C_R} f(z) dz \to 0$，最终得到： \(\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 2\pi i \sum_{\text{Im}(z_k)>0} \text{Res}(f, z_k)\)

---

例题精讲

例题 1：经典案例（只有简单极点）

问题：计算积分 $I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{x^4+1}$。

解：

1. 检查条件与构造
   • $P(x)=1$, $Q(x)=x^4+1$。分母在实轴上无根。
   • $\text{deg}(Q)=4$, $\text{deg}(P)=0$。$4 \ge 0+2$，条件满足。
   • 我们计算 $\oint_C \frac{dz}{z^4+1}$，其中 $C$ 是上半平面的标准半圆路径。
2. 寻找上半平面的奇点
   • 令分母为零：$z^4 = -1 = e^{i(\pi + 2k\pi)}$。
   • $z = e^{i(\frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2})}$，其中 $k=0, 1, 2, 3$。
   • $z_0 = e^{i\pi/4} = \frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}}$
   • $z_1 = e^{i3\pi/4} = -\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}}$
   • $z_2 = e^{i5\pi/4} = -\frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}}$
   • $z_3 = e^{i7\pi/4} = \frac{1}{\sqrt{2}} - i\frac{1}{\sqrt{2}}$
   • 其中，$z_0$ 和 $z_1$ 的虚部为正，位于上半平面。
3. 计算留数
   • 这些都是简单极点。我们使用 $\text{Res}(f, z_k) = \frac{P(z_k)}{Q’(z_k)}$ 的方法更简便。
   • $P(z)=1$, $Q’(z) = 4z^3$。
   • 留数 $\text{Res}(f, z_k) = \frac{1}{4z_k^3}$。小技巧：因为 $z_k^4 = -1$，所以 $\frac{1}{z_k^3} = \frac{z_k}{z_k^4} = -z_k$。
   • $\text{Res}(f, z_0) = \frac{1}{4z_0^3} = -\frac{z_0}{4} = -\frac{1}{4}e^{i\pi/4} = -\frac{1}{4}(\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}})$
   • $\text{Res}(f, z_1) = \frac{1}{4z_1^3} = -\frac{z_1}{4} = -\frac{1}{4}e^{i3\pi/4} = -\frac{1}{4}(-\frac{1}{\sqrt{2}} + i\frac{1}{\sqrt{2}})$
4. 求和并计算积分
   • 留数之和: $\sum \text{Res} = -\frac{1}{4\sqrt{2}} - \frac{i}{4\sqrt{2}} + \frac{1}{4\sqrt{2}} - \frac{i}{4\sqrt{2}} = -\frac{2i}{4\sqrt{2}} = -\frac{i}{2\sqrt{2}}$
   • 应用公式: $I = 2\pi i \times \left( -\frac{i}{2\sqrt{2}} \right) = - \frac{2\pi i^2}{2\sqrt{2}} = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$

---

例题 2：含有高阶极点

问题：计算积分 $I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{dx}{(x^2+a^2)^2}$，其中 $a>0$。

解：

1. 检查条件与构造
   • $P(x)=1$, $Q(x)=(x^2+a^2)^2$。分母在实轴上无根。
   • $\text{deg}(Q)=4$, $\text{deg}(P)=0$。$4 \ge 0+2$，条件满足。
   • 我们计算 $\oint_C \frac{dz}{(z^2+a^2)^2}$。
2. 寻找上半平面的奇点
   • 令分母为零：$(z^2+a^2)^2 = 0 \implies z^2 = -a^2 \implies z = \pm ia$。
   • 函数可写作 $f(z) = \frac{1}{(z-ia)^2(z+ia)^2}$。
   • 上半平面只有一个奇点 $z_1 = ia$，它是一个 2阶极点。
3. 计算留数
   • 对于 $m$ 阶极点 $z_0$，公式为 $\text{Res}(f, z_0) = \frac{1}{(m-1)!} \lim_{z \to z_0} \frac{d^{m-1}}{dz^{m-1}}[(z-z_0)^m f(z)]$。
   • 这里 $m=2$, $z_0=ia$： $\text{Res}(f, ia) = \frac{1}{1!} \lim_{z \to ia} \frac{d}{dz}\left[ (z-ia)^2 \frac{1}{(z-ia)^2(z+ia)^2} \right]$ $= \lim_{z \to ia} \frac{d}{dz}\left[ \frac{1}{(z+ia)^2} \right]$ $= \lim_{z \to ia} \left[ -2(z+ia)^{-3} \right] = \frac{-2}{(ia+ia)^3} = \frac{-2}{(2ia)^3} = \frac{-2}{-8i^3a^3} = \frac{-2}{8ia^3} = \frac{-1}{4ia^3} = \frac{i}{4a^3}$
4. 计算积分
   • $I = 2\pi i \times \text{Res}(f, ia) = 2\pi i \times \left( \frac{i}{4a^3} \right) = \frac{2\pi i^2}{4a^3} = -\frac{2\pi}{4a^3} = -\frac{\pi}{2a^3}$。
   • 勘误与检查: 重新检查计算 $\frac{-2}{-8i^3a^3} = \frac{-2}{-8(-i)a^3} = \frac{-2}{8ia^3} = \frac{-i}{4a^3}$。
   • 最终结果：$I = 2\pi i \times \left( \frac{-i}{4a^3} \right) = \frac{-2\pi i^2}{4a^3} = \frac{2\pi}{4a^3} = \frac{\pi}{2a^3}$。

---

例题 3：一个需要注意的“陷阱”

问题：计算积分 $I = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{x^2+4} dx$。

解： 在应用复杂的留数定理之前，永远先观察函数本身！

• 方法一：利用对称性（最佳方法）
  • 令 $f(x) = \frac{x}{x^2+4}$。
  • 我们发现 $f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2+4} = -\frac{x}{x^2+4} = -f(x)$。
  • 该函数是一个奇函数。
  • 对于任何奇函数，其在对称区间 $[ -L, L ]$ 上的积分恒为零。因此， $I = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 0$。
• 方法二：为什么留数定理在这里不直接适用？
  • 让我们检查条件：$P(x)=x$, $Q(x)=x^2+4$。
  • $\text{deg}(Q)=2$, $\text{deg}(P)=1$。
  • 这里 $\text{deg}(Q) = \text{deg}(P)+1$，不满足 $\text{deg}(Q) \ge \text{deg}(P)+2$ 的条件。
  • 这意味着沿半圆弧 $C_R$ 的积分 $\int_{C_R} f(z) dz$ 当 $R \to \infty$ 时不趋于零。
  • 因此，我们不能使用 $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 2\pi i \sum \text{Res}$ 这个简化公式。
  • 这个例子完美地展示了检查前提条件的重要性。