全概率公式

本次我们来讲解一下全概率公式，作为概率论重要公式之一，其和贝叶斯公式都十分重要，也很经常考。

理解

全概率公式如下：

\[P(A) = \sum_{i=1}^n P(A|B_i)P(B_i)\]

这个公式本身并不难，不过我们需要注意他的应用前提条件，即事件$B_i$彼此互斥，即$P(B_j\cap B_i) = 0$，同时$B_i$的并集等于全集，即$B_1\cup B_2\cup \cdots \cup B_n = \Omega$，或者说$B_i$中某个事件必定会发生。

接下来我们就结合一道例题来讲解一下。

例题

有三个袋子，第一个袋子中有4个黑球，1个白球，第二个袋子中有3个黑球、3个白球，第三个袋子中有3个黑球、5个白球，现随机地取一个袋子，再从中取出一个球，则此球是白球的概率是多少？

总共有三种情况，记事件$B_i$为从第$i$个袋子里取出球，由于取袋子是随机的，故$B_i=\frac{1}{3}$

假设我们取到的是第一个袋子，即事件$B_1$发生。此时袋子中有4个黑球，1个白球，所以在这种情况下取到白球的概率为$P(A|B_1) = \frac{1}{5}$。类似地，在取到第二个袋子、第三个袋子的情况下，我们可以求出取到白球的概率为$P(A|B_2) = \frac{1}{2}, P(A|B_3) = \frac{5}{8}$。

进而，我们求出在所有情况下，取出白球的概率为

\[P(A) = \frac{1}{5}\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\frac{1}{3} + \frac{5}{8}\frac{1}{3} = \frac{53}{120}\]