均值和方差

我们今天来学习一下概率论与数理统计中均值和方差的定义与计算。

均值 或 期望

均值，通常称为数学期望，是随机变量取值的加权平均值，权重为其对应的概率。它描述了随机变量取值的集中趋势，通常用 $E(X)$ 或 $\mu$ 表示。

1. 离散型随机变量

如果随机变量 $X$ 的所有可能取值为 $x_1, x_2, …, x_n, …$，其对应的概率分别为 $p_1, p_2, …, p_n, …$，即 $P(X=x_i) = p_i$。

• 定义与计算公式： \(E(X) = \sum_{i=1}^{\infty} x_i p_i\) 如果 $X$ 只有有限个取值，则求和到最后一项即可。

2. 连续型随机变量

如果随机变量 $X$ 的概率密度函数 (PDF) 为 $f(x)$。

• 定义与计算公式： \(E(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx\) 这个积分需要收敛。

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方差

方差度量了随机变量的取值与其均值（期望）的偏离程度，即数据的离散程度。方差越大，数据分布越分散。通常用 $D(X)$, $Var(X)$ 或 $\sigma^2$ 表示。

• 基本定义：方差是随机变量与它均值之差的平方的期望值。 \(D(X) = E[(X - E(X))^2]\)

• 常用计算公式：这个公式在计算时更方便。 \(D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\) 其中，$E(X^2)$ 是 $X^2$ 的期望。

1. 离散型随机变量

• 定义法计算： \(D(X) = \sum_{i=1}^{\infty} [x_i - E(X)]^2 p_i\)

• 公式法计算： 首先计算 $E(X^2) = \sum_{i=1}^{\infty} x_i^2 p_i$。 然后带入公式： \(D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \left( \sum_{i=1}^{\infty} x_i^2 p_i \right) - \left( \sum_{i=1}^{\infty} x_i p_i \right)^2\)

2. 连续型随机变量

• 定义法计算： \(D(X) = \int_{-\infty}^{+\infty} [x - E(X)]^2 f(x) dx\)

• 公式法计算： 首先计算 $E(X^2) = \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x) dx$。 然后带入公式： \(D(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \left( \int_{-\infty}^{+\infty} x^2 f(x) dx \right) - \left( \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x) dx \right)^2\)

补充:

• 标准差 (Standard Deviation): 方差的算术平方根，记为 $\sigma$。它和原始数据有相同的量纲，更直观地表示数据的离散程度。 \(\sigma = \sqrt{D(X)}\)