三大概率分布（二）
三大概率分布关于卡方分布的内容
今天我们来学习一下卡方分布（Chi-Squared Distribution, $\chi^2$ 分布）及其应用，并结合一个经典的例题来说明。
什么是卡方分布？
卡方分布是由标准正态分布构造出来的一种概率分布，它在统计学中应用极为广泛，尤其是在假设检验中。
- 定义：若 $k$ 个独立的随机变量 $Z_1, Z_2, …, Z_k$ 均服从标准正态分布 $N(0,1)$，则它们的平方和 $X = \sum_{i=1}^{k} Z_i^2$ 服从自由度为 $k$ 的卡方分布，记为 $X \sim \chi^2(k)$。
- 自由度 (Degrees of Freedom, df)：这是卡方分布最重要的参数，它决定了分布的形状。自由度 $k$ 指的是构造这个分布所用的独立标准正态变量的个数。
- 性质：
- 非负性：卡方分布的值永远大于等于0，因为它是平方和。
- 不对称性：它是一个右偏态分布。
- 形状：随着自由度的增加，分布逐渐变得对称，趋近于正态分布。
卡方分布的主要应用
主要应用场景就是进行独立性检验：
- 独立性检验 (Test of Independence)
- 目的：检验两个分类变量是否相互独立。
- 回答的问题：“变量A和变量B之间是否存在关联？”
- 例如：检验吸烟与否和是否患有某种肺部疾病之间是否存在关联；检验不同性别的人对某款产品的偏好是否独立。
应用例题：拟合优度检验 （有使用独立性检验相关知识）
这是理解卡方检验最经典的例子。
问题背景
某赌场声称他们使用的骰子是公平的（即每个点数出现的概率都是1/6）。为了验证这一说法，我们独立投掷了该骰子120次，记录下每个点数出现的次数如下：
| 点数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 总计 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 观测频数 (O) | 20 | 22 | 17 | 18 | 19 | 24 | 120 |
我们能否在 显著性水平 $\alpha = 0.05$ 的情况下，认为这个骰子是公平的？
解答步骤
我们将使用假设检验的五个步骤来解决这个问题。
第一步：建立假设
- 原假设 ($H_0$): 骰子是公平的。即各点数出现的概率相等，$p_1 = p_2 = p_3 = p_4 = p_5 = p_6 = 1/6$。
- 备择假设 ($H_1$): 骰子是不公平的。即至少有一个点数出现的概率不等于 $1/6$。
第二步：计算理论频数 (E)
如果原假设成立（骰子是公平的），那么在120次投掷中，每个点数出现的 理论频数 (Expected Frequency) 应该是： $E_i = n \times p_i = 120 \times (1/6) = 20$ 所以，每个点数的理论频数都是20。
| 点数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 观测频数 (O) | 20 | 22 | 17 | 18 | 19 | 24 |
| 理论频数 (E) | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 | 20 |
第三步：计算卡方检验统计量 ($\chi^2$)
卡方统计量衡量了观测频数与理论频数之间的总体差异。 计算公式： \(\chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}\) 其中，$O_i$ 是第 $i$ 个类别的观测频数，$E_i$ 是理论频数，$k$ 是类别总数。
我们分步计算：
- 点数1: $(20 - 20)^2 / 20 = 0 / 20 = 0.00$
- 点数2: $(22 - 20)^2 / 20 = 4 / 20 = 0.20$
- 点数3: $(17 - 20)^2 / 20 = 9 / 20 = 0.45$
- 点数4: $(18 - 20)^2 / 20 = 4 / 20 = 0.20$
- 点数5: $(19 - 20)^2 / 20 = 1 / 20 = 0.05$
- 点数6: $(24 - 20)^2 / 20 = 16 / 20 = 0.80$
将它们相加得到卡方统计量： $\chi^2_{statistic} = 0.00 + 0.20 + 0.45 + 0.20 + 0.05 + 0.80 = 1.70$
第四步：确定临界值
我们需要查卡方分布表或使用软件来找到临界值。这需要两个参数：
- 显著性水平 ($\alpha$): 题目给定 $\alpha = 0.05$。
- 自由度 (df): 对于拟合优度检验，$df = k - 1$。这里有6个类别（点数1到6），所以 $df = 6 - 1 = 5$。
查阅卡方分布表，在 $df=5$ 且上侧尾部概率为 $0.05$ 的地方，我们找到 临界值 $\chi^2_{critical} \approx 11.070$。
第五步：做出决策并得出结论
- 决策规则: 比较我们计算出的统计量和查表得到的临界值。
- 如果 \(\chi^2_{statistic} \ge \chi^2_{critical}\)，则拒绝原假设 \(H_0\)。
- 如果 \(\chi^2_{statistic} < \chi^2_{critical}\)，则不拒绝原假设 \(H_0\)。
比较: 我们的计算结果是 $\chi^2_{statistic} = 1.70$，临界值是 $11.070$。 显然，$1.70 < 11.070$。
- 结论: 由于我们的卡方统计量小于临界值，我们 没有足够的证据拒绝原假设。因此，在5%的显著性水平下，我们可以认为这个骰子是公平的。观测到的频数波动可以归因于随机抽样误差。